ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2010-2011
ĐÁP ÁN TOÁN CHUYÊN

Câu 1. a) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện a +b + c = a3 + b3 + c3 = 0. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0.
b) Giải hệ phương trình


Giải.
a) (1 điểm) Từ a + b + c = 0 suy ra c = -(a+b). đó ta có
0 = a3 + b3 + c3 = a3 + b3 – (a+b)3 = -3a2b-3ab2 = -3ab(a+b) = 3abc.
Vậy abc = 0, suy ra một trong 3 số a, b, c bằng 0 (đpcm).
b) (1 điểm)
Cách 1. Đặt x = a+1, y = b+1, z = c+1. Thay vào phương trình (1) ta được
a + b + c = 0
Thay vào (2) với chú ý a + b + c = 0, ta được ab + bc + ca = -4 (4)
Thay vào (3) với chú ý a + b + c = 0, ta được a3 + b3 + c3 = 0
Áp dụng câu a), ta suy ra một trong ba số a, b, c bằng 0. Không mất tính tổng quát, giả sử a = 0. Khi đó b = -c và thay vào (4) ta tìm được b = ( 2. Từ đây tìm được x, y, z.
Kết luận : Phương trình có nghiệm (1 ; -1 ; 3) và các hoán vị (6 nghiệm).
Cách 2. Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta suy ra
x2 + y2 + z2 = (x+y+z)2 – 2(xy+yz+zx) = 11
Thay vào phương trình (3), ta được
x3 + y3 + z3 = 27 (5)
Từ (1) và (5) ta suy ra 0 = (x+y+z)3 – (x3+y3+z3) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
Từ đó suy ra trong ba số x, y, z có hai số có tổng bằng 0. Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0. Từ (1) suy ra z = 3. Thay vào (2) suy ra x = -1, y = 1 hoặc x = 1, y = -1.
Kết luận : Phương trình có nghiệm (1 ; -1 ; 3) và các hoán vị (6 nghiệm).

Câu 2. a) Giải phương trình
.
b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 2. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

Giải.
a) (1 điểm) Điều kiện: x2 – x – 2 ≥ 0 ( x ≤ - 1 ( x ≥ 2.
Ta biến đổi phương trình về dạng


Đặt
thì t2 = x2 – x – 2. Thay vào phương trình, ta được
t2 + 2 – 3t = 0 ( t = 1 ( t = 2
Với t = 1, ta được x2 – x – 3 = 0, suy ra
.
Với t = 2, ta được x2 – x – 6 = 0, suy ra x = -2, x = 3.
Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x = -2, x = 3,
.
b) (1 điểm)
Đặt AB = c, AC = b thì theo điều kiện đề bài, ta có ab = 2. Ngoài ra, theo định lý Pythagore, ta có
.
Vế thứ nhất của bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành

(đúng, ở đây có thể dùng bất đẳng thức Cauchy)
Vế thứ hai của bất đẳng thức có thể viết lại thành


Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Bài toán được giải quyết hoàn toàn.

Câu 3. a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
Giải.
a) (0,5 điểm) Có thể chỉ ra bộ (1, 3, 7, 9).
b) Do các số nguyên dương là phân biệt nên tổng ba số bất kỳ lớn hơn 3. Ta chứng minh một trong các tổng đó chia hết cho 3, từ đó không thể là số nguyên tố, suy